2019年01月11日

ヨセコウに着手する手の価値(収束論)

N 手 ヨセコウ( N = 1、2、3、4、・・・ )に 着手する 手の 価値 の 総和 は、
コウの出入り の 3分の1 に 収束 する。

これは、ほんの思いつき から 浮かんだ 仮説 である。
とりあえずは、仮説 としてある。
だけど 直感的 には、どうみても 自明 な 真理 だと 思っている。
したがって かしこまった 証明 などは、必要ない。

それでも 念のため、この 仮説 が 正しいかどうかを 検証 してみたい。
これを読んだ人は、この 検証 が 正しいかどうかを 検証 して 欲しい。

囲碁 の 対局 においては、さまざまな 形状 が 出現 する。
個々の 形状 は、客観的 にみて 妥当 と 見なせる 固有の 目数 (地) を 持っている。
それを ここでは、形状の「 基準値 」と呼ぶことにする。
ヨセ の 見合い計算 においては、形状 に 対して 双方が それぞれ 先着 した 結果を 折半 した
目数 を あらかじめ 想定 する。
基準値 というのは、そのような 目数 である と 思ってもらえばよい。

本 コウ に おける 2つの 形状 の 基準値 は、コウ の 出入り全体 を 3分割 した 地点 に
それぞれ 位置づけ されている。

囲碁 の 対局 において、何らかの 着手 が なされたとする。
その手の 価値 は、着手前後 の 形状の 基準値 の 変化(差) そのもの である。

1手 ヨセコウ に 着手 したときにできる 形状 の 基準値 は、
相手有利 の 本 コウ の 基準値 と 等価 である。

そのように 判断する 根拠 は、下記 の とおりである。

     ┼┼┼┼┼┼┼┨
     ┼┼┼●●●●●
     ┼┼●┼○○○○
     ┼●●○○●●●
     ┷●┷○┷○●┛

これは、1手 ヨセコウ の 一例 である。
これに 黒 が着手すると、下記 のようになる。

 (A)  ┼┼┼┼┼┼┼┨
     ┼┼┼●●●●●
     ┼┼●┼○○○○
     ┼●●○○●●●
     ┷●┷○●┷●┛

一方、下記 は 相手有利 の 本コウ である。

 (B)  ┼┼┼┼┼┼┼┨
     ┼┼┼●●●●●
     ┼┼●●○○○○
     ┼●●○○●●●
     ┷●┷○┷○●┛

前者 すなわち (A) と まったく 同じ 形状 が、3つ あると 仮定 する。
それに対して、双方 が 最善 を 尽くして すべての コウ を 解消 する。
結果は、黒 が 3つの コウ のうちの 1つ を 解消 することになる。

同じことを、後者 すなわち (B) に 対しても やってみる。
そうすると、前者 と まったく 同じ 結果 に なることが わかる。

この 事実 は、どのように 解釈 したら よいのであろうか ?

これをもって、これら 2つの 形状 は 実質的に 等しい 基準値 を 持っていると 判断
してもよいだろう。

同じ 形状を 3つ 集めた、ということが 気にくわない という人が おられるかもしれない。
もっとも、である。
だが ここでの 議論は、あくまでも 「 一般論 」 である。
細かなことは 無視して、もっぱら 客観的 に 妥当な 結論 を 得ようとしている。
本コウ に 着手する手の 価値 は、 コウ の 出入りの 3分の1 であると されている。
これも、「 一般論 」 であるという 前提 のもとでのみ 成立している。

1手 ヨセコウ に 着手 した 手 の 価値 は、
1手 ヨセコウ を 相手有利 の 本 コウ に 変換 した 価値 と 同等 となった。
目数 は、1手 ヨセコウ の 基準値 と 相手有利 の 本 コウ の 基準値 との 差 である。

まったく 同様にして N 手 ヨセコウ に 着手 した 手 の 価値は、
N手 ヨセコウ を(N-1)手 ヨセコウ に 変換 した 価値 と 同等 となる。
目数 は、N 手 ヨセコウ の 基準値 と(N-1)手 ヨセコウ の 基準値 との 差 である。

N 手 ヨセコウ( N = 1、2、3、4、・・・ )に 着手する 手の 価値 を 総合計 すると、
どうなるだろうか ?

N が 大きく になれば、その ヨセコウ の 基準値 は 相手が コウ を 解消 した 形状 の
基準値 に 限りなく 接近 する。

したがって 総合計 は、相手が コウ を 解消 したときの 基準値 と
相手有利 の 本 コウ の 基準値 との 差 になる。

その 目数 は、コウ の 出入り の 3分の1 である。

検証 は、以上 である。
手法 が、いかにも ドロ臭い。
誰かが、スマート で 目の覚めるような 立証 を してくれることを 期待 している。

成立 しようが しまいが、どうでもいいような 仮説 である。
それでも、それなりに 存在価値 が ある。

ヨセコウ に着手する 手 の 価値 については、さまざまな 説 が ある。
そうした 説 の 正当性 を 検証 する際に、 ささやかながら 貢献 をする。
たとえば 仮に、
「 1手ヨセコウ に 着手する手の価値は コウ の 出入りの 1/4 で、
 2手ヨセコウ は 1/5 」
という 説 が あるとする。
そのような 説 は、即座 に アウト になる。
なぜならば、 1/4 + 1/5 = 9/20 > 1/3 だからである。

ここで、ヨセコウ の 基準値 を 想定する 案 の 一例 を紹介する。

全く同じ 形状 の N手 ヨセコウ が 2 の(N+1)乗 + 1 個 あるとする。
それに 対して、双方が 最善を 尽くして 全ての コウ を 解消 する。
そうすると ヨセコウ 側 は、そのうちの ちょうど 1個 の コウ を 解消 することになる。

この 記述 が 正しいかどうかは重要 なので、念 を入れて 検証 して 欲しい。
正しいと 認定 されれば、N手 ヨセコウ 基準値 は ほとんど自明 である。

たとえば 1手ヨセコウ (N=1) であれば、2の(N+1)乗 + 1 は 5 である。
ヨセコウ 側 が 1個の コウ を 解消し、相手側 が 4個 の コウ を 解消する。
基準値 は 明らかで、按分 により A/5 - 4B/5 すなわち (A+B)/5 - B となる。
ここで A は ヨセコウ 側 が コウ を 解消した時に獲得する目数で、
B は 相手側 が コウ を 解消 した時に 獲得 する 目数 である。
(A+B) は、コウ の 出入りの目数 になる。

2手ヨセコウ (N=2) なら 基準値 は (A+B)/9 - B で、以下同様 である。

N手 ヨセコウ の それぞれの 基準値 が 想定 されたら、
各 ヨセコウ に 着手する 手の 価値 は 自動的に 定まる。
単純に、低次の ヨセコウ の 基準値 との 差分 だからである。
結果 は、下記 の ようになる。
数字は、いずれも、コウ の 出入りの目数 (A+B) を 基準にしている。
総和 は 当然ながら、1/3 に 収束 している。
 
 (1/3-1/5) (1/5-1/9) (1/9-1/17) (1/17-1/33) (1/33-1/65) ・・・
   2 / 15   4 / 45    8 / 153   16 / 561   32 / 2145  ・・・

基準値 に どのような 値 を 設定 するかについては、様々な 考えが あると思う。
そうした 案 が 提示 されることを、期待している。
                                             ( 以上 )



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